Modelos ARCH/GARCH para series temporales

La volatilidad (volatility) es una medida estadística de la dispersión de la información o varianza sobre su media en un periodo de tiempo determinado.

En finanzas, se refiere a cuánto ha cambiado el precio entre periodos. Por ejemplo, si es alto, el precio subirá o bajará mucho de un día a otro. La volatilidad alta es muy arriesgada, puede ser beneficiosa si quieres ganar mucho dinero de manera rápida, pero también puede hacer que pierdas mucho dinero en un periodo corto de tiempo.

Por lo general, en finanzas hay periodos de alta volatilidad seguidos de periodos de baja volatilidad y viceversa. Por ejemplo, durante una crisis económica, la volatilidad incrementa y cuando la situación mejora, la volatilidad baja. A esto se le llama volatility clustering (agrupación de volatilidad).

Modelos ARCH

La volatilidad alta hace que sea más difícil predecir el futuro. Los modelos ARCH son útiles para predecir en periodos de volatilidad alta.

ARCH viene del inglés de “Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity” (Heterocedasticidad Condicional Auto-Regresiva):

• Heteroskedasticity: Se refiere a la volatilidad o varianza de las series temporales
• Condifional: Se refiere a que la volatilidad no es fija en el tiempo, sino que varía
• Auto regresiva: La volatilidad de un cierto punto depende de momentos previos

Usamos modelos ARCH para la varianza, mientras que usamos modelos ARIMA para la media.

El modelo ARCH representa el término de error (εₜ) como el producto de:

• Ruido blanco estándar: ωₜ
• La desviación típica de un número q de periodos anteriores: σₜ

$$ \varepsilon_t = \omega_t \sigma_t $$

Los modelos ARCH modelan la varianza de las series temporales como una regresión de los valores de un número q de errores anteriores al cuadrado:

$$ \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + … +\alpha_q\varepsilon_{t-q}^2 $$

A pesar de que ARCH se llame auto-regresiva, se parece más a una media móvil.

Problemas con ARCH

Los modelos ARCH son muy útiles, pero tienen tres problemas principales:

1. No hacen un buen trabajo modelando volatilidad persistente. Por ejemplo, puede que haya periodos que tienen más volatilidad que otros, donde la volatilidad se mantiene o se queda muy alta o muy baja durante un tiempo. A esto se le llama volatility cluster (agrupación de volatilidad). Se definen como “estallantes”, lo que significa que puede que aparezcan saltos en la predicción
2. Son modelos sobre-parametrizados, requieren muchos parámetros para hacer una buena predicción
3. Asumen que el impacto de la volatilidad es igual en los casos positivos y negativos, que tienen el mismo impacto en la variable de salida. Para lidiar con esos problemas los modelos ARCH pueden ser extendidos o generalizados

Modelos GARCH

Los modelos GARCH son un tipo de series temporales que se usan comúnmente en finanzas para modelar la volatilidad de los valores de los activos.

GARCH viene del inglés “Generalised Autoregressive Conditional Heteroskedasticity” (Heterocedasticidad condicional autoregresiva generalizada). Es una generalización del modelo ARCH que intenta mitigar algunos de sus problemas.

Extiende las capacidades de los modelos ARCH incluyendo variables y términos adicionales en el modelo. Mientras que los modelos ARCH sólo tienen en cuenta observaciones anteriores los modelos GARCH también tienen en cuenta la varianza o volatilidades pasadas. Esto añade términos que hacen que parezca un modelo autoregresivo.

Los modelos GARCH modelan la varianza de las series temporales como la regresión de los valores de un número q de previos errores al cuadrado y un número p de valores de varianza previos.

$$ \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2 + … +\alpha_q\varepsilon_{t-q}^2 + \beta_1\sigma_{t-1}^2 + … +\beta_p\sigma_{t-p}^2 $$

Mejoras del modelo GARCH

Como hemos visto, los modelos ARCH tienen sus fallos. Gracias a los modelos GARCH están solucionados:

1. Capturan mucho mejor la volatility clustering
2. Son parsimoniosos (parsimonious), lo que significa que pueden alcanzar resultados iguales o incluso mejores con menos parámetros
3. No asumen que la volatilidad positiva y negativa afectan de igual manera en la variable de respuesta, pueden modelar efectos asimétricos

Sin embargo, los modelos GARCH aún tienen algunos problemas. Por ejemplo, no son capaces de capturar efectos de leverage (aprovechamiento), que se refiere al hecho de que los valores negativos tienen una influencia mayor en la volatilidad futura que los positivos.

Existen extensiones del modelo GARCH que son capaces de lidiar con los dos efectos anteriores, como los modelos AGARCH o EGARCH.

Estimación de parámetro

De manera similar a como se estiman los valores de los modelos ARIMA, los parámetros q y p de los modelos GARCH pueden estimarse graficando los gráficos ACF y PACF de las observaciones al cuadrado.